Números Racionais

Os números racionais são aqueles representados por frações (representação de uma parte do todo) ou números decimais de escrita finita. Em outras palavras, eles se referem a todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais é representado pela letra maiúscula Q (quociente, que tem origem do termo em inglês “quotient”, que por sua vez se originou da palavra latina quotiē(n)s, sendo o seu significado o de “quantas vezes”).

Assim, também se denomina números racionais o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero). Isto é, todo o número que pode ser escrito na forma fracionária, em que o numerador e o denominador são números inteiros.

Além disso, os números racionais são compostos pelo grupo dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…} e pelo grupo dos números inteiros Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}. Dessa forma, Q = {x = a/b, com a Z e b Z*}, isto é, a fração composta pelos elementos a e b onde “a” pertence ao conjunto dos números inteiros (Z) e “b” ao conjunto dos números inteiros não-nulos (Z*), ou seja, sem o zero, por exemplo: (Q): 1/2, 3/4, –5/4.

Também existe a seguinte representação, Q = {a/b | a ϵ Z; b ϵ Z*}.

Assim, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo.

Exemplos de números racionais

1) 5/8;

2) 7,5;

3) -9;

4) 3 5/8;

5) – 6/7.

Divisão dos Números Racionais

Números Inteiros

5/1 = 5
2/1 = 2
-7/1 = -7

Números Decimais Exatos

0,2 = 2/10
0,06 = 6/100
2,173 = 2173/1000

Números Periódicos (dízimas periódicas)

0,03333… = 3/9
0,414141… = 41/99
0,141141141… = 141/999

Classificação dos Números Racionais 

Racionais Positivos e Racionais Negativos

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números Racionais Positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

  • Racionais positivos: (Q*+): são representados pela adição dos sinais ‘* ‘ e ‘+’, e esse grupo é construído pelos números racionais positivos.

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

  • Racionais negativos (Q*-): tem como representação a adição dos sinais ‘* ‘ e ‘_’, sendo esse grupo composto pelos números racionais negativos.
  • Racionais não-negativos: (Q+): são representados pelo acréscimo do sinal ‘+’ ao lado da letra Q, esse grupo se constitui de números racionais positivos e o zero.
  • Racionais não-positivos: (Q- ): são representados pelo acréscimo do sinal ‘_’ , que aparece junto à letra Q, sendo esse conjunto formado de números racionais negativos e o zero.
  • Racionais não-nulos (Q*): são representados pelo acréscimo do ‘* ‘ ao lado da letra Q, esse conjunto é formado pelos números racionais sem o zero (0).

Diagrama dos subconjuntos dos números reais

Os números racionais opõem-se aos números irracionais, que são representados pelo símbolo II.

Já o asterisco que é usado ao lado do símbolo que representa um determinado conjunto serve para indicar que se retirou o zero do mesmo, como em Q*, que representa os números racionais não nulos; Q*+, que se refere aos racionais positivos; e o Q*- para fazer referência aos racionais negativos.

Além das frações (próprias ou impróprias) e dos números decimais, existem também outras formas de se apresentarem os números racionais:

  • Números mistos: os quais são uma variação das frações impróprias. Exemplo: 5 3/2;
  • Dízimas periódicas: que se referem aos números decimais quando na escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Exemplos: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965), aqui, os números entre parênteses repetem-se ao infinito.

Dízima periódica

É um número real da forma: m,npppp…

Onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, por isso, são usadas as reticências ao final. A parte que se repete é denominada período. Em livros, pode aparecer uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou ainda o período dentro de parênteses.

Exemplos de dízimas periódicas: 0,3333333… = 0,3; 1,6666666… = 1,6.

Tipos de dízima periódica

Dízima periódica simples: quando a parte decimal é composta somente pelo período. Exemplos: 0,333333… = 0,(3)  = 0,3; 3,636363… = 3,(63) = 3,63.

Dízima periódica composta: tem uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Exemplo: 0,83333333… = 0,83; 0,72535353… = 0,7253.